B. 弗里德曼宇宙学方程

如图38所示，设想宇宙中一小块代表性3D空间，不失一般性，可以是一个正方体，边长为a，就是膨胀因子，体积为V，表面积为A，平均质量密度为ρ，质量为m，单位面积压力为p，能量为E。那么：

其中变量名上一点代表对时间一阶微分。在瞬间膨胀或收缩中能量守恒：

结合场方程(Exp.25)、FLRW度规(Exp.35)、和能量守恒(Exp.36)，弗里德曼在1922和1924年分别发表宇宙膨胀速度与加速度公式：

其中和ä分别为a(t)对t的一次和二次导数，/a和ä/a 分别代表宇宙比例膨胀速度与加速度；/a > 0代表宇宙膨胀，/a < 0代表收缩，/a = 0代表平衡。Λ是宇宙常数，一般认为代表真空能量密度。

C. 静态平衡宇宙

借用弗里德曼宇宙学方程，我们很容易理解爱因斯坦在1917年时面对的困境。如果没有宇宙常数(Λ=0)，宇宙平均质量密度ρ > 0(正物质与辐射远多于反物质)，平均压力密度p >= 0。代入加速度公式(Exp.38)而得ä/a < 0，膨胀加速度总为负，蕴含无论宇宙当前是否膨胀，未来必然收缩、最终毁灭。爱因斯坦很早意识到这点，吓得不轻，立刻凭空引入Λ > 0，强制ä/a = 0。他最终目的是找到静态平衡宇宙，于是又强制a = 0。代入膨胀速度公式(Exp.37)，发现必须k = 1。于是他在理论上锁死了各项宇宙基本参数：

爱因斯坦在1917年发表静态宇宙模型，包括上述常数及公式。其中k = 1代表宇宙必须是3D球面；a₀代表一个具体宇宙大小，被称为“爱因斯坦静态平衡宇宙半径”；ρ₀是静态平衡宇宙里的质量密度。即使没有实测数据或理论反驳，这个模型也显得很勉强。大约10年后，它被证伪。

D. 即使平衡也不稳定

勒梅特在1927年综合公开的星系红移与距离观测数据，推算出星系退行速度与距离之间的关系，并提出宇宙正在膨胀。同时他从爱因斯坦静态宇宙出发，提出一个简单的动态模型，证明宇宙可能进入持续膨胀状态。但这篇文章发表在一个比利时地方小刊物上，被德英主流科学界忽视。爱丁顿与合作者在1930年独立研究爱因斯坦静态宇宙的稳定性，在接近完成时读到勒梅特1927年的文章，发现后者的方程里其实已经隐含了答案。爱丁顿随后把这个结果明确提炼出来，证明爱因斯坦静态宇宙不稳定：即使宇宙处于平衡状态，只要稍有扰动，平衡也会崩溃。

爱丁顿假设宇宙平均动量忽略不计。物质都有动量，动量是矢量，物体间的动量相互抵消，宇宙内单位空间内平均动量近似0(p ≈ 0)。代入能量守恒公式(Exp.36)：

等式右侧第一项是正指数函数，典型的不稳定方程。当时间t足够长后，这个解中的第一项必然压倒第二项，所以我们可以忽略第二项，只考虑第一项的作用。即使宇宙达到爱因斯坦静态平衡，只要稍有扰动，宇宙变大一点点，δ > 0, C₁> 0，宇宙开始膨胀，物质密度ρ下降，引力作用降低。但宇宙常数恒定，其隐含的排斥作用占上风，于是膨胀加剧。这个过程是个正反馈，所以宇宙按时间指数扩张。而如果扰动让宇宙变小一点点，δ < 0, C₁ < 0，宇宙中物质密度加大，宇宙常数的排斥作用恒定，宇宙收缩加剧。这也是个正反馈过程，于是宇宙崩溃。如果δ与C₁符号相反，在足够长时间t后，C₁代表的指数项将变得足够大，逆转δ的符号。

E. 宇宙大爆炸模型

勒梅特在1927年文章里求解弗里德曼宇宙学微分方程组(Exp.37)和(Exp.38)，获得时间t与膨胀因子a(t)之间的关系表达式：

图40. 勒梅特在1927年文章里的宇宙模型，蕴含宇宙永恒，时间没有起点。

爱丁顿1930年文章问世后，勒梅特立即意识到这个模型不合理，宇宙不可能在无限长时间里处于静态平衡状态。于是他在1931年修改模型，引入两条新假设。

• 第一，根据观测结果，他认为实际宇宙常数要比爱因斯坦静态宇宙模型中的数值大一些，但差别很小。这个改变有观测依据，又避免了积分里出现无限大，也就避免了静态宇宙时间无限长的结果。
• 第二，解耦宇宙常数Λ与宇宙平均质量密度ρ。在之前宇宙学里，人们习惯于从爱因斯坦静态宇宙出发，所以假设宇宙常数Λ与宇宙平均质量密度ρ之间存在线性关系，如(Exp.39)。但他发现在宇宙很小时这个假设不合理。Λ代表真空能量密度，与宇宙大小a无关；而ρ与a高度相关。宇宙内总质量近似常数，当宇宙很小时，ρ非常高。所以他假设Λ与ρ无关。

如此修改设置后，他再找不到t(a)的简单表达式，只找到一个积分方程：

其中ρ_E是常数，来自(Exp.40)。不难验证，假如宇宙常数Λ取(Exp.39)中爱因斯坦静态宇宙理论值，(Exp.43)积分符号里的分母会出现0，所以上述第一个假设必要。利用数值解法求解(Exp.43)，宇宙大小的演变如下：

图41. 大图为勒梅特在1931年提出宇宙模型；小图复制图1，其中红线与大图中的绿线意义一致。

勒梅特结论，宇宙有时间起点。他的数学显示宇宙大小从0开始，直译为宇宙曾从无到有。很明显，这产生科学哲学难题。因为所有科学，包括物理，都是现实里的因果，其中的因必须是物理因素，包括物质与时空。而宇宙大小为0、即“无”的状态里没有这些因素，所以他只好变通。在1931年，量子物理已经诞生。他意识到宇宙初生时体积曾非常小，进入量子级别。但他找不到完备适用的量子理论，于是笼统地总结，宇宙始于“太初原子”(Primeval Atom)，然后经历爆炸期，空间迅速变大；再后迎来停滞期，物质在引力作用下凝结成恒星与星系；最后宇宙又膨胀。当前我们处于最后的膨胀期。勒梅特1931年文章是宇宙大爆炸理论的源头，为人类思想带来根本性改变。对比他的模型与NASA最新模型，不难发现宇宙学已有长足发展，但他的大框架至今依然有效。总体讲，后世宇宙学只是将他开创的革命性理论细致化。

注释：

1. 骆远志，2018，为什么现代科学诞生在西欧、不在中国，https://www.lyz.com/modern-science/
2. 骆远志，2021，为什么马克思主义哲学错了，https://www.lyz.com/sci_marx_god/
3. 骆远志，2021，不包含力的力学理论，https://www.lyz.com/newtonian_simplified/
4. 骆远志，2022，中国民主化的最大障碍与解决之道，https://www.lyz.com/democracy-jesus/
5. 骆远志，2023，现代自由民主思想到底怎么来的？源头是《圣经》，不是古希腊，https://www.lyz.com/liberty-bible/
6. 骆远志，2024，六四35周年随想谁真的爱自由？ https://www.lyz.com/64-35years/
7. 骆远志，2024，从巴门尼德到康德—漫谈理性主义哲学，https://www.lyz.com/ parmenides-kant/
8. 骆远志，2025，量子力学的哲学根基，https://www.lyz.com/heisenberg-schrodinger/
9. 骆远志，2025，从自然历史看人与动物的根本区别，https://www.lyz.com/human-animal/
10. 骆远志，2024，六四36周年纪念：什么样的人民注定被奴役 https://www.lyz.com/64-36years/
11. 季羡林，1999，站在胡适之先生墓前，https://www.chinafolklore.org/web/index.php?NewsID=5258

12. 胡适，1928，科学的人生观， https://zh.wikisource.org/zh-hans/科學的人生觀
13. Stanford Encyclopedia of Philosophy, Newton’s Scholium on Time, Space, Place and Motion, https://plato.stanford.edu/entries/newton-stm/scholium.html
14. 维基百科词条，胡适，https://zh.wikipedia.org/wiki/胡適
15. 陈独秀，1920年2月1日，基督教與中國人， https://zh.wikisource.org/wiki/基督教與中國人

16. Exchange of papers between Leibniz and Clarke https://www.earlymoderntexts.com/assets/pdfs/leibniz1715_1.pdf
17. Original letter from Isaac Newton to Richard Bentley, The Newton Project, https://www.newtonproject.ox.ac.uk/view/texts/normalized/THEM00258
18. Einstein, 1905, on the electrodynamics of moving bodies, https://sites.pitt.edu/~jdnorton/teaching/Einstein_graduate/pdfs/Einstein_STR_1905_English.pdf
19. Einstein Explains Ideas on Universe, New York Times, June 27, 1931, https://www.nytimes.com/1931/06/27/archives/einstein-explains-ideas-on-universe-he-suggests-expansion-will-go.html?smid=url-share
20. Einstein, 1949, Autobiographical Notes, https://archive.org/stream/EinsteinAutobiography/EinsteinAutobiography_djvu.txt
21. Rosenthal-Schneider, Ilse (1980). Thomas Braun (ed.). Reality and scientific truth: Discussions with Einstein, von Laue, and Planck. Foreword by Arthur I. Miller. Detroit: Wayne State University Press. p. 74. ISBN 9780814316504.
22. Einstein, 1920, Relativity: The Special and General Theory (Part II: The General Theory of Relativity)
23. 竺可桢，1939，求是精神与牺牲精神，https://bjb.cas.cn/tbzt2016/dnzt/sd/jdwz/202007/t20200704_5618050.html
24. 胡适，1931，我的信仰，https://www.aisixiang.com/data/86476.html
25. 朱熹，《朱子语类·孟子七·离娄下·人之所以异于禽兽章》https://ctext.org/text.pl?node=592693
26. 中国近代反基督教宣言，https://lib.exchristian.hk/declaration.html
27. 胡适，1921，演化论与存疑主义，http://www.myhuayu.com/books/Reader/2625
28. 骆远志，2025，通俗解释彼岸世界与唯心主义，https://www.lyz.com/other-world/
29. 骆远志，2025，漫谈美与爱情的哲学意义，https://www.lyz.com/beauty-love/  
30. 骆远志，2025，人死后灵魂还在吗？https://www.lyz.com/death-soul/

读者评论

大爆炸模型 /《相对论里的时空观》十三 https://bbs.wenxuecity.com/memory/1934274.html